Некоторые основные достижения Джона фон Неймана в области математики: Исследования по аксиоматической теории множеств, математической логике и теории топологических групп. Основные труды по функциональному анализу, в частности изучение алгебры операторов в гильбертовом пространстве, вопросов, связанных с эргодической теорией, и применения функционального анализа в квантовой механике. Работы по математическому обоснованию квантовой механики, в которых введены фундаментальные понятия этой науки, такие как вектор состояния, амплитуда вероятности. В 1928 году установление теоремы о минимаксе, ставшей основой теории игр. В 1945 году формулировка основных принципов построения и функционирования (архитектуры) ЭВМ (так называемые принципы фон Неймана). В 1930-х годах публикация ряда работ по кольцам операторов, что положило начало так называемой алгебре Неймана, которая впоследствии стала одним из главных инструментов для квантовых исследований. Фундаментальная работа «Математические основы квантовой механики» (1931), в которой учёный изложил свой подход к аксиоматизации квантовой механики.