Некоторые награды и звания Алибека Днишева: Лауреат Всесоюзного конкурса вокалистов им. М. Глинки (1-я премия, 1975, Тбилиси, Грузия); Лауреат Международного конкурса им. Р. Шумана (2-я премия, 1977, Цвиккау, ГДР); Лауреат Международного конкурса вокалистов им. Э. Вилла-Лобоса (1979, Рио-де-Жанейро, Бразилия); Народный артист Казахской ССР (1979); Медаль «За трудовую доблесть» (14 ноября 1980 года) — за большую работу по подготовке и проведению Игр XXII Олимпиады; Народный артист СССР (1986); Премия Ленинского комсомола (1979) — за высокое исполнительское мастерство; Орден «Парасат» (1996); Государственная премия мира и прогресса Первого Президента Республики Казахстан — Лидера нации (2001); Независимая общенациональная премия «Тарлан» («Платиновый Тарлан» в разделе «Музыка», «Клуб меценатов Казахстана», 2003); Медаль «10 лет Астане» (2008); Медаль «20 лет независимости Республики Казахстан» (2011); Орден «Отан» (2011); Государственная премия Республики Казахстан в области литературы и искусства (2012) — за концертную программу, посвящённую 65-летию Победы в Великой Отечественной войне; Почётный гражданин Алма-Аты (2014); Звание «Қазақстанның Еңбек Ері» с вручением знака особого отличия Золотой звезды (Алтын жұлдыз) — за особые заслуги в развитии отечественной культуры и популяризации музыкального искусства и в связи с 70-летием со дня рождения (2021).