Нейро
Ответ создан на основе результатов поиска
Некоторые доказательства формулы Пика:
- Доказательство для единичного квадрата 14. Для него S = 1, В = 0, Г = 4, поэтому формула верна 1.
- Доказательство для прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат 15. Пусть a и b — длины сторон прямоугольника 1. Тогда: S = ab, В = (a-1)(b-1), Г = 2(a+b) 1. Подстановка показывает, что формула Пика верна 1.
- Доказательство для прямоугольного треугольника с катетами, параллельными осям координат 15. Любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю 1. Обозначив через с число целых точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения с 1.
- Доказательство для любого треугольника 1. Такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (надо не более 3 таких треугольников) 1. Отсюда получаем корректность формулы Пика для любого треугольника 1.
- Доказательство для произвольного многоугольника 15. Для доказательства разобьём его на треугольники с вершинами в целых точках 1. Для одного треугольника формула Пика доказана 1. Можно доказать, что при добавлении к многоугольнику треугольника формула Пика сохраняет свою корректность 1. Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника 1.
На основе 10 источников: