Как вывести уравнение Менделеева-Клапейрона?

Уравнение Менделеева-Клапейрона выводится на основе положений молекулярно-кинетической теории 2. Согласно этой теории, идеальный газ — это вещество в газообразном состоянии, для которого справедливы следующие допущения 2:

Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории, если концентрация молекул газа (количество в единице объёма) равно n, масса одной молекулы m0, а её среднеквадратичная скорость v^2, то давление такого газа равно 2:

p = (1/3)nm0v^2 2.

Поскольку молекулы газа считаются материальными точками, то средняя кинетическая энергия движущейся молекулы равна 2:

E = (m0v^2/2) 2.

Выразим из этого соотношения массу молекулы и подставим в предыдущее 2. Получим:

p = (2/3)nE 2.

Средняя энергия молекулы в молекулярно-кинетической теории связана с температурой газа через постоянную Больцмана (k=1,38×10^-23 Дж/К) 2:

E = (3/2)kT 2.

Подставив эту среднюю энергию в предыдущее выражение, получим:

p = nkT 2.

Наконец, выразим концентрацию молекул как отношение их количества к объёму (n = N/V) 2. В итоге получим:

p = (N/V)kT 2.

Данное соотношение было впервые получено и практически доказано в 1834 году Б. Клапейроном, поэтому оно носит название «уравнение Клапейрона» 2.

В 1874 году Д. Менделеев сделал вывод, что константа, присутствующая в уравнении Клапейрона, прямо пропорциональная количеству вещества газа, то есть отношению общей массы газа m к его молярной массе М 2:

pV/T = (m/M) 2.

А поскольку один моль любого газа в одинаковых условиях занимает один и тот же объём, можно ввести специальный коэффициент, R = 8,31 Дж/моль × К 2. С этим коэффициентом уравнение состояния идеального газа получит вид:

pV/T = (m/M)R 2.

Значение температуры чаще всего переносят в правую часть формулы 2. Окончательно имеем:

pV = (m/M)RT 2.

Уравнение состояния идеального газа в таком виде называется уравнением Менделеева-Клапейрона 2.