Как выбрать, какую часть выражения взять за $u$ и какую за $dv$ при интегрировании по частям?

Для выбора, какую часть выражения взять за u и какую за dv при интегрировании по частям, можно использовать правило LIATE 1. Оно определяет приоритет функций для выбора в качестве u 1.

Логика правила: функции, стоящие выше в списке (логарифмы, обратные тригонометрические), упрощаются при дифференцировании (часто до алгебраических функций), а те, что внизу (тригонометрические, экспоненциальные), легко интегрируются, не меняя сложности 1. Поэтому в качестве u надо выбирать ту функцию, что стоит выше (по приоритету), а за dv брать оставшуюся часть подынтегрального выражения 1.

Также за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv — такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется 2.