Нейро
Ответ создан на основе результатов поиска
Один из способов доказать теорему косинусов 1:
- Случай 1: угол C равен 90° 1. Тогда cos C = 0, и требуемое равенство обращается в теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC 1.
- Случай 2: угол C < 90° 1. В треугольнике ABC есть ещё хотя бы один острый угол, пусть это будет угол B 1. Из вершины A проведём высоту AD 1. Так как углы B и C острые, точка D лежит на стороне BC 1. Отрезок CD = b1 будет катетом в прямоугольном треугольнике ACD с гипотенузой AC = b и прилежащим острым углом C 1. Поэтому b1 = bcosC 1. По теореме Пифагора находим c^2 из другого прямоугольного треугольника ABD с катетами AD = h и BD = a-b1 1. Получаем c^2=(a-b1)^2+h^2 1. Но h^2 = b^2-b1^2 из треугольника ACD 1. Подставив это выражение для h^2 в предыдущее равенство и заменив b1 по формуле, получим: c^2 = a^2-2ab1+b1^2+b^2-b1^2 = a^2-2abcosC+b^2 1.
- Случай 3: угол C > 90° 1. Снова проведём высоту AD = h из вершины A 1. Теперь её основание — точка D лежит на продолжении стороны BC за точку C 1. Снова обозначим отрезок CD через b1 1. В этом случае BD = a+b1, и из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора c^2 = h^2+(a+b1)^2 1. По определению косинуса тупого угла cosC = -frac{b1}{b}. Поэтому b1 = -bcosC 1. Наконец, из треугольника ACD снова получаем, что h^2 = b^2-b1^2 1. Подставляя это выражение для h^2 и выражение для b1, то есть b1 = -bcosC, снова получаем: c^2 = b^2-b1^2+a^2+2ab1+b1^2 = a^2+b^2-2abcosC 1.
Ещё один способ доказательства теоремы косинусов — через окружность 3:
Рассматривается произвольный треугольник, одна из вершин которого, которая находится при большей стороне, является центром окружности, радиус которой равен длине этой большой стороны 3. Через центр окружности надо провести ещё один диаметр, а через одну из коротких сторон достроить прямоугольный треугольник 3. В нём надо найти катет, прилежащий к углу альфа 3. Соответственно, диаметр и катет пересекутся в точке А, тогда по свойству пересекающихся хорд: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos α 3. Таким образом, теорема будет доказана 3.
На основе 10 источников: