Как доказать, что через точку можно провести только один перпендикуляр к данной прямой?

Чтобы доказать, что через точку можно провести только один перпендикуляр к данной прямой, можно воспользоваться методом «от противного» 4.

Сначала докажем существование перпендикуляра 5. Пусть точка А не лежит на прямой ВС 5. Проведём луч ВА, затем от луча ВС отложим угол СВD, равный углу АВС 5. На луче ВD отложим отрезок ВК, равный отрезку ВА 5. Проведём прямую АК, пусть Н — точка пересечения прямых ВС и АК 5. АВН = КВН по первому признаку равенства треугольников: ВН — общая сторона, ВА = ВК, АВН = КBН (по построению), ВНА = ВНD 5. Но ВНА и ВНD — смежные углы, тогда по свойству смежных углов ВНА + ВНD = 180°, следовательно, каждый из смежных углов прямой, то есть ВНА = ВНD = 90°, а значит АН ВС 5.

Теперь докажем единственность перпендикуляра 5. Предположим, что через точку А можно провести ещё один перпендикуляр АН1 к прямой ВС, тогда получим, что две прямые АН и АН1, перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются в точке А 5. Но по свойству перпендикулярных прямых, прямые АН и АН1 пересекаться не могут, значит, наше предположение неверно и через точку А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС 5.

Таким образом, теорема доказана 5.